『群論への第一歩』「第9章　作用」ノート

読み方の方針

まずざっと読んでから、頭に返ってきてじっくり読んでいく

章の配置的にもボリューム的にも本書の中心的な内容というよりは、発展的、あるいは次につながる一歩的な内容だと予想

そもそもタイトルに「準同型定理まで」とあるわけだから、この章はその「まで」よりも少しはみ出た部分と言えそう

2024/3/25

まずざっと読む。

ざっと読むだけなら一日で完了。

2024/3/26

もう少し読んでいく。

作用について

群は集合に作用する

数学用語としての「作用」

大雑把に言えば「群の元が集合の元を置換する」と見なすこと

置換群の元は集合X_n = {1,2,3,…,n}の元を並べ替える

復習

n次置換群が、集合X_nの元を並べ替えている（作用している）と考えられる

そうすると、置換群は、集合への作用を通じて、構造や対称性を表すことができる

置換群ではなく、群Gに一般化し、集合X_nをXに一般化し、作用を明確に定義する

一般化ができれば、何かしらの集合があるとして、その集合について考えたいときに、その集合に作用する（作用しうる？）群を考えることで、その集合の構造や対称性を「群の言葉」で表せるようになる、らしい

準同型は群の構造を保つ写像

準同型fで、G→G'しても、群の構造は保たれている、ということ

群から対象群への準同型に注目する

群→対象群でも、群の構造は保たれている、ということ

そういう写像f（準同型f）を考える

作用を理解するポイント

群Gから集合Xへの対称群Sxへの準同型を定めると、

群Gから集合Xへの作用が定まる

目標として、ここが「なるほど、確かに」となるレベルを目指そう

群の置換表現

まずは復習から

集合X_nからX_nへの全単射を「n次置換」という

全単射なので写像で移されても項目の数は変わっていない。順番を入れ替えただけのようなもの。

そういう全単射を「n次置換」と呼ぶ（全単射は特殊な写像の呼び方であるから、n次置換も写像の呼び方）

「n次置換」全体の集合を台集合とする→写像が集まった（=写像が元である）集合

その台集合と写像の合成を群演算とする群を「n次対称群」という

元が写像なので、群演算も写像の合成

単位は「それがなんであるか」のタイプを示すわけだ。

「n次対称群」の部分群を「n次置換群」という

たとえば、4次対称群S4がある

対称群なので、元は写像、群演算は写像の合成

S_4の一つの元をα（これは写像）とすると、αはX_4からX_4への全単斜であり、4次置換の一つです

第６章で正6面体の回転操作が出てきた

回転操作が、4本の対角線を置換していると置かれていた

P_6がX_4と同型であることが確認された

P6からS4への全単射準同型（同型写像）が存在していることが示された

一つ上の話と合わせる

S_4の一つの元をα（これは写像）は、X_4からX_4への全単斜であり、4次置換の一つです

P_6からS4への同型写像がある

つまり、P_6→S_4→X4、という流れが想定でき、それを「群P_6が集合X_4に作用している」と述べたい

一つ上の話よりもワンステップ増えた形だが、そのワンステップの意義が今は見えてこない

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概念を拡張する

上記はnが付いていたが、それを取って一般化する

集合XからXへの全単射を「集合X上の置換」という

集合X上の置換全体の集合を台集合とし、

写像の合成を群演算とする群を「集合X上の対称群」といい

S_x

で表す

集合X上の対称群S_xの部分群を集合X上の置換群という

X_nはn個の要素を持つ有限の集合だが、Xは無限かもしれない点には注意

写像ρ（ローと読む）は、「群G」から「集合X上の対称群S_x」への準同型

$ ρ:G \to S_x

Gの要素gがあるとして、S_xのρ(g)が、X→Xの置換

「ちょっと一言」

ρの値域(Image ρ)は、ρによるG全体の像p(G)に等しい

ρ(G)は、S_x上のα で、そのαはρ(g)、つまりGの元gをρで移した値

準同型の定義は？

二つの群(G,*)と(G',*')に対し、写像f:G→G'が次の条件を満たすとき、写像fを群Gから群G'への準同型といいます。

Gの任意の元x,yに対して、

f(x*y)=f(x)*'f(y)

が成りたつ

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群Gから集合Xへの対象群S_xへの準同型

$ ρ :G \to S_x

を考える

準同型は部分群を部分群に移す

準同型ρによるG全体の像ρ(G)は、対称群S_xの部分群になる

GもGの部分群だから

すなわちρ(G)は、X上の置換群

ρは、「群Gの構造」を「集合X上の置換群ρ(G)」に移すので、この準同型ρを「集合Xにおける群Gの置換表現」という

ρが単射のとき、pを充実な置換表現という。

ρが忠実な置換表現のとき、Gとρ(G)は群として同型、つまり

$ G \cong p(G)

となる。

準同型ρが単射なら、群Gの情報はρで移された先でも失われない

振る舞いを忠実に移している、という感覚

群Gがどのような群であっても、ある集合Xにおける忠実な置換表現を構成することができる

→ケイリーの定理

忠実な置換表現ρが存在するならば、群Gの性質を調べるときに、ρ(G)の性質の確認することで目的が達成できる

なぜなら、群Gの性質をそのまま移しているのがρ(G)だから（忠実な置換表現の場合に限る）

置換表現ρがあれば、群Gの元gを、X上の置換ρ(g)と見なすことができる。

これを、「群Gは集合Xに作用している」とよぶ

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左作用の定義

(G,*)を群、Xを集合とします。写像

$ α: G ×X \to X

がA1とA2を満たすとき、写像αを「群Gによる集合Xへの左作用」といいます。

A1 集合Xの任意のxについて、

$ a(e,x) = x

が成り立つ（eは群Gの単位元)。

A2 群Gの任意の元g1,g2と、集合xの任意の元xについて、

$ α(g1,α(g2,x)=α(g1*g2,x)

が成り立つ

右作業

左作用なら「左から作用する」といい、右作用なら「右から作用する」という

定義を読んでいく

$ α: G ×X \to X

G×Xには、(a,b)のような元が集まっている

この元(a,b)がαによって、Xに移される

この場合であれば、わかりやすく元を(g,x)で表すこともできる

ということは、

Gの任意の元gに対し、

αによって、

XからXへの写像が一つ定まる

といえる。

確認

$ α_g:x \mapsto α(g,x)

で定義できるから。

$ a_g(x) = α(g,x)

群GがXに作用する。X→Xという写像が「行われる」（というイメージ）

X→Xにおいて、Xの任意の元xは、x'に移される

そのxは(g,x)のようにGの元gがセットになっている。

(g,x)とx'という二つのものがあり

x→x'の移動だけみると、gがx→x'を起こしているようにも見立てられる

実際は(g,x)とαなわけだが

そうした見立ては「gはxをx'に移す」と表現されるらしい

言い換えるならば、写像αは「群Gの任意の元を、XからXへの写像と見なすための写像」といえる

実際gはGの元でしかないが、そのgが一つのキーとなってαを駆動するので、という感じ

eを群Gの単位元とすると、集合Xの任意の元ｘについて、

$ α_e(x)=x

が成り立つ

$ α_e = idx

という条件に等しい

恒等写像は「なにもしない」やつ

X→Xという操作の中で、eがコミットする対象xは、αを通してもxのまま、ということ

群Gの任意の元g1,g2と、集合Xの任意の元xについて、

$ α_{g1}(α_{g2}(x)) = α_{g1*g2}(x)

が成り立つ

二つの元g1,g2の合成写像は作用αがg1*g2からつくる写像に等しい

$ α_{g1}○α_{g2} = α_{g1*g2}

xをまずg2で移し、それをさらにg1で移した元（左辺）と、xをg1*g2で移した元が等しい

A1とA2によって、Gの元gから作られる写像α_gはすべて、XからXへの全単射、すなわちX上の置換になる

置換表現と作用の関係

ρからαが構成できるし、αからρが構成できるから

群の置換表現ρ

$ ρ:G \to Sx

$ ρ:g \mapsto ρ(g)

作用α

$ α:G×X \to X

$ α:(g,x) \mapsto α_g(x)

ρが与えられれば、写像α_g=ρ(g)として、αが定義できる

αが与えられれば、写像ρ(g)=α_gとして、ρが定義できる

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作用の具体例で理解を深める

群Zの集合Rへの作用α

群(Z,+)による集合Rへの作用αを定義してみる

まずnを整数として写像

$ a_n:\mathbb{R} \to \mathbb{R}

を

$ α_n:r \mapsto n+ r

として定義する（ α_n(r)= n + r ）ということ。

さらに写像

$ α:\mathbb{Z}×\mathbb{R}\to\mathbb{R}

を、

$ α:(n,r)\mapstoα_n(r)

で定義する

すると、αは群Zによる集合Rへの作用になる

Zは整数(zahlen)、Rは実数(real number)

集合Rの要素に対して、α_0は恒等写像（なにもしない）で、α_1は、一つずつ右にシフト、α_-1は一つずつ左にシフト（右に-1シフト）させていく

群Zの集合Rへの作用β

今度は、

$ β_n:r\mapsto(-1)^nr

で定義する。

1のときは値は替わらず（なにもしない）、-1（nが奇数のとき）は、符号をひっくり返す形でシフトさせる

当然、αとβはイコールではない

群Zの集合Rへの作用γ

今度は、

$ γ_n:r\mapsto r

で定義する

どんなnであっても恒等写像になる

nから得られるβ、γが単射ではないから

βは2つ、γは一つの写像に集まることになる

対象群S_nによる集合X_nへの作用

これは確認的内容だった

作用と対称性

群の作用を調べることで、調べたい対象が持つ対称性を群として表すことができる

群の同型を利用して対称性が同じかどうかを調べたり

群と部分群の関係を利用して、対称性の大小関係を調べたりできる

たとえば

正6角錐と正3角柱は異なる対称性を持つ

正6角錐は一つの回転軸の周りを60°単位で回す対称性しかない

正3角柱は120°の横回転と上下をひっくり返す対称性がある

回転操作の総数は共に六個だが、作業する群の違いで対称性の違いを表すことができる

例9-6 対称群の多項式全体の集合への作用

例9-7 置換の符号

互換は差積の符号を反転する

群GによるG自身への作用

二項演算

$ *:G×G\to G

群Gによる集合Xへの作用α

$ α:G×X\to X

よく似ている

XをGとすればまったく同じ

群Gが群G（の集合）に作用している

ケイリーの定理

任意の群は、ある集合の置換群の一つと同型になります

というところで、いったん読了とする。